Question

【題目】（12分）菱形ABCD中，兩條對角線AC，BD相交于點O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON繞點O旋轉，射線OM交邊BC于點E，射線ON交邊DC于點F，連接EF．

（1）如圖1，當∠ABC=90°時，△OEF的形狀是 ；

（2）如圖2，當∠ABC=60°時，請判斷△OEF的形狀，并說明理由；

（3）在（1）的條件下，將∠MON的頂點移到AO的中點O′處，∠MO′N繞點O′旋轉，仍滿足∠MO′N+∠BCD=180°，射線O′M交直線BC于點E，射線O′N交直線CD于點F，當BC=4，且時，直接寫出線段CE的長．

Answer 1

【答案】（1）△OEF是等腰直角三角形；（2）△OEF是等邊三角形；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）先證四邊形ABCD是正方形，得出∠EBO=∠FCO=45°，OB=OC，得出∠BOE=∠COF，進一步得到△BOE≌△COF，從而得到結論；

（2）過O點作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，根據菱形的性質可得CA平分∠BCD，∠ABC+BCD=180°，求得OG=OH，∠BCD=120°，∠GOH=∠EOF=60°，進一步得出∠EOG=∠FOH，得出△EOG≌△FOH，從而得到結論；

（3）過O點作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，先求得四邊形O′GCH是正方形，從而求得GC=O′G=3，∠GO′H=90°，得到△EO′G ≌△FO′H全等，得到△O′EF是等腰直角三角形，根據已知求得等腰直角三角形的直角邊O′E的長，然后根據勾股定理求得EG，即可求得CE的長．

試題解析：（1）△OEF是等腰直角三角形；如圖1，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是正方形，∴OB=OC，∠BOC=90°，∠BCD=90°，∠EBO=∠FCO=45°，∴∠BOE+∠COE=90°，∵∠MON+∠BCD=180°，∴∠MON=90°，∴∠COF+∠COE=90°，∴∠BOE=∠COF，在△BOE與△COF中，∵∠BOE=∠COF，OB=OC，∠EBO=∠FCO，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形；

（2）△OEF是等邊三角形；如圖2，過O點作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°，∵四邊形ABCD是菱形，∴CA平分∠BCD，∠ABC+BCD=180°，∴OG=OH，∠BCD=180°﹣60°=120°，∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°，∴∠GOH+∠BCD=180°，∴∠MON+∠BCD=180°，∴∠GOH=∠EOF=60°，∵∠GOH=∠GOF+∠FOH，∠EOF=∠GOF+∠EOG，∴∠EOG=∠FOH，在△EOG與△FOH中，∵∠EOG=∠FOH，OG=OH，∠EGO=∠FHO，∴△EOG≌△FOH（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等邊三角形；

（3）如圖3，∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是正方形，∴，過O點作O′G⊥BC于G，作O′H⊥CD于H，∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°，∴四邊形O′GCH是矩形，∴O′G∥AB，O′H∥AD，∴，∵AB=BC=CD=AD=4，∴O′G=O′H=3，∴四邊形O′GCH是正方形，∴GC=O′G=3，∠GO′H=90°，∵∠MO′N+∠BCD=180°，∴∠EO′F=90°，∴∠EO′F=∠GO′H=90°，∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H，∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G，∴∠EO′G=∠FO′H，在△EO′G與△FO′H中，∵∠EO′G=∠FO′H，O′G= O′H，∠EG O′=∠FH O′，∴△EO′G≌△FO′H（ASA），∴O′E=O′F，∴△O′EF是等腰直角三角形；∵S正方形ABCD=4×4=16，，∴S△O′EF=18，∵S△O′EF=，∴O′E=6，在RT△O′EG中，EG===，∴CE=CG+EG=．根據對稱性可知，當∠M′ON′旋轉到如圖所示位置時，CE′=E′G﹣CG=．

綜上可得，線段CE的長為或．