Question

【題目】已知：在△ABC中，AB＝AC，點D為BC邊的中點，點F是AB邊上一點，點E在線段DF的延長線上，∠BAE＝∠BDF，點M在線段DF上，∠ABE=∠DBM．

（1）如圖1，當∠ABC＝45°時，求證：AE＝MD；

（2）如圖2，當∠ABC＝60°時，

①直接寫出線段AE，MD之間的數量關系；

②延長BM到P，使MP＝BM，連接CP，若AB＝7，AE＝，探求sin∠PCB的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①AE＝2DM，理由見解析；②

【解析】

（1）由題意知∠BAE＝∠BDM，∠ABE＝∠DBM故有△ABE∽△DBM，從而得到AE：DM＝AB：BD，而∠ABC＝45°，再得到AB＝BD，則有AE＝MD；

（2）①由于△ABE∽△DBM，相似比為2，故有EB＝2BM，進而確定出AE與DM的關系；

②由題意知得△BEP為等邊三角形，有EM⊥BP，∠BMD＝∠AEB＝90°，在Rt△AEB中求得AE、AB、tan∠EAB的值，由D為BC中點，M為BP中點，得DM∥PC，求得tan∠PCB的值，在Rt△ABD和Rt△NDC中，由銳角三角函數的定義求得AD、ND的值，進而求得tan∠PCB的值．

（1）證明：如圖1，連接AD．

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC．

又∵∠ABC＝45°，

∴BD＝ABcos∠ABC，即AB＝BD．

∵∠BAE＝∠BDM，∠ABE＝∠DBM，

∴△ABE∽△DBM．

∴＝＝，

∴AE＝MD．

（2）①如圖2，連接AD，EP，過N作NH⊥AC，垂足為H，連接NH，

∵AB＝AC，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

又∵D為BC的中點，

∴AD⊥BC，∠DAC＝30°，BD＝DC＝AB，

∵∠BAE＝∠BDM，∠ABE＝∠DBM，

∴△ABE∽△DBM，

∴＝＝＝2，∠AEB＝∠DMB，即AE＝2DM；

②∵△ABE∽△DBM，

∴＝＝＝2，

∴EB＝2BM，

又∵BM＝MP，

∴EB＝BP，

∵∠EBM＝∠EBA+∠ABM＝∠MBD+∠ABM＝∠ABC＝60°，

∴△BEP為等邊三角形，

∴EM⊥BP，

∴∠BMD＝90°，

∴∠AEB＝90°，

在Rt△AEB中，AE＝2，AB＝7，

∴BE＝＝，

∴tan∠EAB＝＝，

∵D為BC中點，M為BP中點，

∴DM∥PC，

∴∠MDB＝∠PCB，

∴∠EAB＝∠PCB，

∴tan∠PCB＝．