Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的動點，且AE=BF=CG=DH．

（1）求證：△AEH≌△CGF；

（2）在點E、F、G、H運動過程中，判斷直線EG是否經過某一個定點，如果是，請證明你的結論；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）直線EG經過一個定點，這個定點為正方形的中心（AC、BD的交點）；理由見解析.

【解析】分析：（1）由正方形的性質得出∠A=∠C=90°，AB=BC=CD=DA，由AE=BF=CG=DH證出AH=CF，由SAS證明△AEH≌△CGF即可求解；

（2）連接AC、EG，交點為O；先證明△AOE≌△COG，得出OA=OC，證出O為對角線AC、BD的交點，即O為正方形的中心．

詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠C=90°，AB=BC=CD=DA，

∵AE=BF=CG=DH，

∴AH=CF，

在△AEH與△CGF中，

AH=CF，∠A=∠C，AE=CG，

∴△AEH≌△CGF（SAS）；

（2）直線EG經過一個定點，這個定點為正方形的中心（AC、BD的交點）；理由如下：

連接AC、EG，交點為O；如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴∠OAE=∠OCG，

在△AOE和△COG中，

∠OAE=∠OCG，∠AOE=∠COG，AE=CG，

∴△AOE≌△COG（AAS），

∴OA=OC，OE=OG，

即O為AC的中點，

∵正方形的對角線互相平分，

∴O為對角線AC、BD的交點，即O為正方形的中心．