Question

如圖，在平面直角坐標系中，以 （1，0）為圓心的⊙P與y軸相切于原點O，過點A（-1，0）的直線AB與⊙P 相切于點B 。
（1）求AB的長；
（2）求AB、OA與所圍成的陰影部分面積（不取近似值）；
（3）求直線AB的解析式；
（4）直線AB上是否存在點M，使OM+PM的值最小？如果存在，請求出點M的坐標；如果不存在，請說理。

Answer 1

解：連接PB ∵點A、P的坐標分別為（-1，0）、（1，0），        ∴OA=OP=1，∴PA=2.       ∵直線AB與⊙P 相切于點B        ∴PB⊥AB，∴∠ABP=90°         又∵⊙P與y軸相切于原點O ∴PB=OP=1 （1）AB= （2）連接OB        ∵∠ABP=90°，OA=OP∴OB=OP=AP            又∵PB=OP  ∴PB=OP=OB   ∴∠OPB=60°    ∴S陰影=S△ABP-S扇形POB=××1-= （3）設直線AB與y軸相交于點C  ∵∠OPB=60°， ∠ABP=90° ∴∠BAP=180。-60°-90°=30。  ∴在Rt△OAC中，OC=AC   設OC=x，     則AC=2x.依題意得　(2x)2=x2+12             解得x=   ∵x＞0，∴x=  ∴點C坐標為(0， )     可設直線AB的解析式為y=kx+(k≠0)       ∵直線AB過點A（-1，0），∴-k+=0.解得k =       ∴直線AB的解析式為y=x+ （4）延長PB交y軸于點N.          在Rt△OPN中，∠ONP=180。-60°-90°=30。       ∴PN=2PO=1×2=2，∴BN=PN-PB=1=PB　又∵PB⊥AB　　  ∴直線AB是線段PN的垂直平分線，點P、N關于直線AB成軸對稱        ∴ON與直線AB的交點C就是所求的點M       故直線AB上存在點M，使OM+PM的值最小.點M即點C(0， )