Question

小明學了勾股定理后很高興，興沖沖的回家告訴了爸爸：在△ABC中，若∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，如下圖，根據勾股定理，則a²+b²=c²．爸爸笑瞇瞇地聽完后說：很好，你又掌握了一樣知識，現在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理還成不成立？若成立，請說明理由；若不成立，請你類比勾股定理，試猜想a²+b²與c²的關系，并證明你的結論．〔下圖備用）

Answer 1

①當三角形是銳角三角形時，
證明：作AD⊥BC垂足是D，設CD的長為x，
根據勾股定理得：b²-x²=AD²=c²-（a-x）²
整理得：a²+b²=c²+2ax
∵2ax＞0
∴a²+b²＞c²

②當三角形為鈍角三角形時
證明：過B點作AC的垂線交AC于D點，設CD的長為y
在直角三角形ABD中，AD²=c²-（a+y）²
在直角三角形ADC中，AD²=b²-y²，
∴b²-y²=c²-（a+y）²
整理得：a²+b²=c²-2ay
∵2ay＞0，∴a²+b²＜c²．

所以：①在銳角三角形中，a²+b²＞c²．
②在鈍角三角形中，a²+b²＜c²．