Question

【題目】已知：二次函數，當時，函數有最大值5.

（1）求此二次函數圖象與坐標軸的交點；

（2）將函數圖象x軸下方部分沿x軸向上翻折，得到的新圖象與直線恒有四個交點，從左到右，四個交點依次記為，當以為直徑的圓與軸相切時，求的值.

（3）若點是(2)中翻折得到的拋物線弧部分上任意一點，若關于m的一元二次方程 恒有實數根時，求實數k的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 拋物線與軸交于；（2）；（3）實數k的最大值為3.

【解析】分析：（1）求出對稱軸x=1，結合a>0,可知當時，隨增大而增大，所以x=4時，y=5,把以x=4時，y=5代入解析式求出a的值，然后解方程即可；

（2）由折疊部分對應的解析式：，可知，解方程，求出B、C的坐標，然后根據列方程即可求出n的值；

（3）根據△≥0求出k的取值范圍，即，再結合，即可求得實數k的最大值.

詳解：(1) 拋物線的對稱軸為：.

，拋物線開口向上，大致圖象如圖所示.

當時，隨增大而增大；

由已知：當時，函數有最大值5.

當時， ，

.

令 得 ，令 得，

拋物線與軸交于，

拋物線與軸交于.

（2）,

其折疊得到的部分對應的解析式為：，其頂點為

圖象與直線恒有四個交點，

由，解得,

，.

當以為直徑的圓與軸相切時，.

即：，

,

,

得， ，

.

（另法：∵BC直徑，且⊙F與x軸相切，

∴FC=y=n,

∵對稱軸為直線x=1,

∴F(1,n),則C（1+n,n),

又∵C在上，

∴，

得，

，

.

（3）若關于m的一元二次方程 恒有實數根，則須

恒成立，

即恒成立，即恒成立.

點是(2)中翻折得到的拋物線弧部分上任意一點，

，

，（ 取 值之下限）

實數k的最大值為3.