Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，頂點為D，對稱軸為直線x=1，有下列四個判斷：

①關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根分別是x1=﹣1，x2=3；

②a﹣b+c=0；

③若拋物線上有三個點分別為（﹣2，y1）、（1，y2）、（2，y3），則y1＜y2＜y3；

④當OC=3時，點P為拋物線對稱軸上的一個動點，則△PCA的周長的最小值是，

上述四個判斷中正確的 有（　　）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】B

【解析】

由拋物線與對稱軸的交點對①進行判斷；由拋物線經過點（-1，0），代入解析式即可對②進行判斷；利用拋物線的對稱軸對③進行判斷；利用拋物線的對稱性得到PA=PB，當B、P、C在一條直線上時，PB+PC=BC，此時PA+PC最小，則△PCA的周長最小，根據勾股定理求得AC、BC即可對④進行判斷．

∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0），
∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根分別是x1=-1，x2=3，故①正確；
∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），
∴a-b+c=0，故②正確；
∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x==1，拋物線上有三個點分別為（-2，y1）、（1，y2）、（2，y3），
∴|-2-1|＞|2-1|，
∴y1＜y3＜y2，故③錯誤；
∵P為拋物線對稱軸上的一個動點，
∴點A與點B為拋物線的對稱點，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC，
當B、P、C在一條直線上時，PB+PC=BC，
此時PA+PC最小，則△PCA的周長最小，
∵OA=1，OC=3，OB=3
∴AC=，BC=2，
∴△PCA的周長最小值為+2．故④錯誤．
故選：B．