Question

【題目】如圖，將一張矩形紙片ABCD折疊，使兩個頂點A、C重合，折痕為FG，若AB＝4，BC＝8．

求（1）線段BF的長；

（2）判斷△AGF形狀并證明；

（3）求線段GF的長．

Answer 1

【答案】（1）BF＝3；（2）△AGF是等腰三角形，理由見解析；（3）GF＝2．

【解析】

（1）根據折疊的性質和垂直平分線的性質求出AF=CF，根據勾股定理得出關于CF的方程，求出CF，得出BF，再根據面積公式求出即可；

（2）由平行線的性質和折疊的性質可證AF=AG，可得△AGF是等腰三角形；

（3）由勾股定理可求AC的長，可求AO的長，由勾股定理可求FO的長，即可得GF的長．

（1）∵將一矩形紙片ABCD折疊，使兩個頂點A，C重合，折痕為FG，

∴FG是AC的垂直平分線，

∴AF＝CF，

設AF＝FC＝x，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，

即42+（8﹣x）2＝x2，

解得：x＝5，

即CF＝5，BF＝8﹣5＝3，

（2）△AGF是等腰三角形，

理由如下：∵將一張矩形紙片ABCD折疊，

∴∠AFG＝∠CFG，

∵AD∥BC，

∴∠AGF＝∠CFG

∴∠AGF＝∠AFG，

∴AG＝AF，

∴△AGF是等腰三角形；

（3）∵AB＝4，BC＝8．

∴AC＝ ＝＝4，

∵將一張矩形紙片ABCD折疊，

∴AC⊥GF，

∵AF＝CF，

∴AO＝CO＝2，

∵AF＝AG，AC⊥GF，

∴FO＝GO，

∵FO＝＝＝，

∴GF＝2OF＝2．