Question

【題目】如圖，已知直線 y=x＋3 與 x 軸、y 軸分別交于點 A、B，線段 AB 為直角邊在第一內作等腰 Rt△ABC，∠BAC＝90． 點 P 是 x 軸上的一個動點，設 P(x，0)．

(1)當 x ＝______________時，PB＋PC 的值最小；

(2)當 x ＝______________時，|PB－PC|的值最大．

Answer 1

【答案】 3 -21

【解析】試題分析：（1）作點B關于x軸的對稱點點B'，連接B'C交x軸與點P，此時PB＋PC 的值最小，作CD⊥x軸交于點D，要求點P的橫坐標即要求直線B'C的解析式，即要求點B'、C的坐標，B'坐標不難求，C的坐標通過△AOB≌△CDA全等可以求得；（2）延長CB交x軸于點P，此時|PB－PC|的值最大，要求點P橫坐標，即要求直線BC的解析式，求出直線BC的解析式，令y=0，求出點P的坐標即可.

試題解析：

（1）作點B關于x軸的對稱點點B'，連接B'C交x軸與點P，此時PB＋PC 的值最小，作CD⊥x軸交于點D，

令x=0，y=3，B（0，3）；令y=0，x=4，A（4，0），

∴B'（0，－3），AO=4，BO=3，

∵等腰Rt△ABC，∴∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠BAO+∠CAD=90°，

∵∠CAD+∠ACD=90°，

∴∠BAO=∠ACD，

在△AOB和△CDA中，

，

∴△AOB≌△CDA，

∴AO=CD=4，BO=AD=3，

∴OD=7，

∴C（7， 4），

設直線B'C的解析式為：y=kx+b，

，解得，

∴y=x－3，

令y=0，x=3；

（2）延長CB交x軸于點P，此時|PB－PC|的值最大，

設直線BC解析式為：y=kx+b，

，解得，

∴y=x+3，

令y=0，x=－21.