Question

【題目】操作：將一把三角尺放在如圖①的正方形中，使它的直角頂點在對角線上滑動，直角的一邊始終經過點，另一邊與射線相交于點，探究：

(1)如圖②，當點在上時，求證：.

(2)如圖③，當點在延長線上時，①中的結論還成立嗎？簡要說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)成立，理由見解析.

【解析】

（1）過點P作MN//BC，可以證明△PMQ≌△BNP，從而得出BP=QP；

（2）過點作于,交于點，可以證明△PMQ≌△BNP，從而得出BP=QP；

(1)證明：過點作，分別交于點，交于點，

則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形．

∴NP=NC=MB

∵∠BPQ=90°

∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90° ，

∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°，

在△QNP和△BMP中，

∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM

∴△QNP≌△PMB（ASA），

∴PQ=BP．

(2)成立.

過點作于,交于點

在正方形中,

∴

∴是矩形，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴；