Question

如圖，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，2)、D(0，3)，射線l過點D且與x軸平行，點P、Q分別是l和x軸的正半軸上的動點，滿足∠PQO＝60º．

(1)點B的坐標是             ，∠CAO＝         º，當點Q與點A重合時，點P的坐標
為             ；
(2)設點P的橫坐標為x，△OPQ與矩形OABC重疊部分的面積為S，試求S與x的函數關系式和相應的自變量x的取值范圍．

Answer 1

（1）（6，2）。  30。（3，3）（2）

解：（1）（6，2）。  30。（3，3）。
（2）當0≤x≤3時，
如圖1，

OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由題意可知直線l∥BC∥OA，
可得，∴EF=（3+x），
此時重疊部分是梯形，其面積為：

當3＜x≤5時，如圖2，


當5＜x≤9時，如圖3，


當x＞9時，如圖4，

。
綜上所述，S與x的函數關系式為：
。
（1）①由四邊形OABC是矩形，根據矩形的性質，即可求得點B的坐標：
∵四邊形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），∴點B的坐標為：（6，2）。
②由正切函數，即可求得∠CAO的度數：
∵，∴∠CAO=30°。
③由三角函數的性質，即可求得點P的坐標；如圖：當點Q與點A重合時，過點P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。
∴。
∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴點P的坐標為（3，3）。
（2）分別從當0≤x≤3時，當3＜x≤5時，當5＜x≤9時，當x＞9時去分析求解即可求得答案。