Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點O為圓心，OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE．
（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）求證：BC²=2CD•OE；
（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE的長．

Answer 1

（1）DE為⊙O的切線，理由見解析
（2）證明見解析
（3）OE=

解析試題分析：（1）連接OD，BD，由直徑所對的圓周角是直角得到∠ADB為直角，可得出△BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=DE，從而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中兩銳角互余，從而可得∠ADO與∠CDE互余，可得出∠ODE為直角，即DE垂直于半徑OD，可得出DE為⊙O的切線；
（2）由已知可得OE是△ABC的中位線，從而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可證得；
（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的長，根據三角形中位線定理OE的長即可求得．
試題解析：（1）DE為⊙O的切線，理由如下：
連接OD，BD，

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，
∴CE=DE=BE=BC，
∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，
∴∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，
∴DE為⊙O的切線；
（2）∵E是BC的中點，O點是AB的中點，
∴OE是△ABC的中位線，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴，即BC²=AC•CD．
∴BC²=2CD•OE；
（3）解：∵cos∠BAD=，
∴sin∠BAC=，
又∵BE=，E是BC的中點，即BC=，
∴AC=．
又∵AC=2OE，
∴OE=AC=．
考點：1、切線的判定；2、相似三角形的判定與性質；3、三角函數