Question

如圖，把正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉45°得到正方形A′B′CD′（此時，點B′落在對角線AC上，點A′落在CD的延長線上），A′B′交AD于點E，連接AA′、CE．
求證：（1）△ADA′≌△CDE；
（2）直線CE是線段AA′的垂直平分線．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°。∴∠A′DE=90°。
根據旋轉的方法可得：∠EA′D=45°，∴∠A′ED=45°。∴A′D=DE。
∵在△AD A′和△CDE中，AD=CD，∠EDC=∠A′DA=90°，A′D=DE，
∴△ADA′≌△CDE（SAS）。
（2）∵AC=A′C，∴點C在AA′的垂直平分線上。
∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠CAE=45°。
∵AC=A′C，CD=CB′，∴AB′=A′D。
∵在△AEB′和△A′ED中，∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED，AB′=A′D，
∴△AEB′≌△A′ED（AAS）。∴AE=A′E。
∴點E也在AA′的垂直平分線上。∴直線CE是線段AA′的垂直平分線。

正方形的性質，旋轉的性質，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性質，線段垂直平分線的判定。
【分析】（1）根據正方形的性質可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，則∠A′DE=90°，再計算出∠A′ED=45°，根據等角對等邊可得AD=ED，即可利用SAS證明△AA′D≌△CED。
（2）首先由AC=A′C，可得點C在AA′的垂直平分線上；再證明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，從而得到點E也在AA′的垂直平分線上，根據兩點確定一條直線可得直線CE是線段AA′的垂直平分線。