Question

如圖13-1，若四邊形ABCD、四邊形GFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE， AG⊥CE.
(1)當正方形GFED繞D旋轉到如圖13-2的位置時，AG=CE是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
(2)當正方形GFED繞D旋轉到如圖13-3的位置，點F在邊AD上，延長CE交AG于H，交AD于M.
①求證：AG⊥CH；
②當AD=4，DG=時，求CM的長．

Answer 1

（1）成立．  
證明：四邊形ABCD、四邊形GFED都是正方形，∴AD=CD．DG=DE． 
∵∠GDA+∠ADE＝90°，∠CDE+∠ADE＝90°，∴∠GAD＝∠CDE．
∴△ADG≌△CDE，∴AG＝CE．
（2）①證明：由（1）知：△ADG≌△CDE，∴∠GAD＝∠DCE．
∵∠AMH＝∠CMD，∴∠AHM＝∠CDM=90°．
∴CH⊥AG．
②如圖，過點E作EK∥MD交CD于點K．

∵∠FDE=45°，∴∠EDK=45°．∵AD=4， DG=，
∴EK=DK=1．CK=3．
∵△CEK∽△CMD，∴，∴，
∴，∴．

（1）證出△ADG≌△CDE，從而得出AG＝CE成立；
（2）①利用△ADG≌△CDE得出∠GAD＝∠DCE，從而證出∠AHM＝∠CDM=90°，得出CH⊥AG；
②過點E作EK∥MD交CD于點K，先證出，從而得出MD的長，再根據勾股定理求出CM的長。