Question

已知：拋物線y=ax²-4ax+m與x軸的一個交點為A（1，0）．
（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）點C是拋物線與y軸的交點，且△ABC的面積為3，求此拋物線的解析式；
（3）點D是（2）中開口向下的拋物線的頂點．拋物線上點C的對稱點為Q，把點D沿對稱軸向下平移5個單位長度，設這個點為P；點M、N分別是x軸、y軸上的兩個動點，當四邊形PQMN的周長最短時，求PN+MN+QM的長．（結果保留根號）

Answer 1

分析：（1）先求出拋物線的動對稱軸，根據拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，即可求得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）先求出點C的坐標，再結合△ABC的面積為3的條件便可求出拋物線的解析式；
（3）先根據題意求出D、Q、P三點的坐標，進一步解答便可求出當四邊形PQMN的周長最短時，PN+MN+QM的長．

解答：解：（1）依題意，拋物線的對稱軸為x=2．
∵拋物線與x軸的一個交點為A（1，0），
∴由拋物線的對稱性，可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（3，0）；（1分）

（2）∵拋物線y=ax²-4ax+m與x軸的一個交點為A（1，0），

∴a•12-4a×1+m=0 m=3a y=ax2-4ax+3a

，
∴C（0，3a）．（2分）
∵△ABC的面積為3，
AB=2，OC=|3a|，
S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×2•OC=OC=3．
∴|3a|=3．
∴a=±1，m=±3．
∴所求拋物線的解析式為y=x²-4x+3或y=-x²+4x-3；（4分）

（3）依題意知，拋物線的解析式為．y=-x²+4x-3，
∴點D（2，1），C（0，-3），P（2，-4）．
設Q（x，y），
∵點C與點Q關于x=2對稱，
∴點Q坐標（4，-3）．（6分）
分別作P、Q關于y軸、x軸的對稱點P′、Q′，
連接P′Q′，分別交x軸、y軸于點M、N．
連接PN、MQ，則此時四邊形PQMN的周長最短．（7分）
∴P′（-2，-4），Q′（4，3）．
過P′作P′E垂直Q′E于E．∴E（4，-4）．
∴P′E=6，Q′E=7，
由作圖可知，PN=P′N，QM=Q′M．
∴PN+MN+QM=P’N+MN+Q′M=P′Q′=

62+72

=

85

．
∴PN+MN+QM的長為

85

．（8分）

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法動點問題等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．