Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經過點（1，0），一條直線y=ax+b，它們的系數之間滿足如下關系：a＞b＞c．
（1）求證：拋物線與直線一定有兩個不同的交點；
（2）設拋物線與直線的兩個交點為A、B，過A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為A₁、B₁．令k=

c

a

，試問：是否存在實數k，使線段A₁B₁的長為4

2

．如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）考查了判別式與函數交點坐標的關系，要注意△=b²-4ac，當△＞0時，有兩個交點，當△=0時，有一個交點，當△＜0時，沒有交點；
（2）此題考查了根與系數的關系，要注意此線段的長即是兩個交點坐標的橫坐標的差，用根與系數的關系表示出，變形即可求得．

解答：解：（1）根據題意得：a+b+c=0
ax+b=ax²+bx+c
∵a＞b＞c
∴a+b＞0，a＞0，c＜0，
∴ax²+（b-a）x+c-b=0，
∴ax²+（b-a）x-a-b-b=0，
∴△=（b-a）²-4a（-a-2b）=（a+b）²+4a（a+b）＞0，
∴拋物線與直線一定有兩個不同的交點；
（2）不存在
設點A，B的橫坐標分別為x₁，x₂，
∵ax²+（b-a）x+c-b=0，
∴x₁+x₂=

a-b

a

，x₁•x₂=

c-b

a

，
根據題意得：A₁B₁=|x₁-x₂|=

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( a-b a )2- 4(c-b) a

=4

2

∴(

c

a

)2-

4c

a

=32，
∴k²-4k-32=0，
∴k=8或k=-4，
∵a＞0，c＜0
∴k=-4，
∵當k=-4時，

c

a

=-4得到C=-4a，又a+b+c=0，

即a+b-4a=0 所以b=3a

∵a＞0，
∴b＞a，

∵a＞b＞c，
∴k=-4不符題意舍去，
∴不存在符合題意的k值．

點評：此題考查了二次函數與一元二次方程的關系，要注意方程判別式的應用，以及根與系數的關系；
這是中考中的難點，要注意認真分析．