Question

【題目】如圖，已知∠MON＝90°，A是∠MON內部的一點，過點A作AB⊥ON，垂足為點B，AB＝3厘米，OB＝4厘米，動點E、F同時從O點出發，點E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向運動，點F以2厘米/秒的速度沿OM方向運動，EF與OA交于點C，連接AE，當點E到達點B時，點F隨之停止運動，設運動時間為t秒（t＞0）.

（1）當t＝1秒時，△EOF與△ABO是否相似？請說明理由；

（2）在運動過程中，不論t取何值，總有EF⊥OA，為什么？

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得△AEB與△OEF相似？

Answer 1

【答案】（1）△EOF∽△ABO．理由見解析；（2）見解析；（3）當t＝時，存在△OEF∽△BEA．

【解析】

（1）運用兩邊對應成比例且夾角相等，即可得出△EOF∽△ABO；

（2）證明Rt△EOF∽Rt△ABO，得出對應角相等，即可得到∠FCO＝90°，進而可得EF⊥OA；

（3）分兩種情況討論：△OEF∽△BEA；△OEF∽△BAE，分別依據對應邊成比例，求得t的值，再根據題意判斷是否符合題意即可．

（1）△EOF∽△ABO；

理由：∵t＝1，

∴OE＝1.5厘米，OF＝2厘米，

∵AB＝3厘米，OB＝4厘米，

∴＝，＝，

∴＝，

∵∠EOF＝∠ABE＝90°，

∴△EOF∽△ABO；

（2）在運動過程中，OE＝1.5t，OF＝2t．

∵AB＝3，OB＝4，

∴＝，＝，

∴＝，

又∵∠EOF＝∠ABO＝90°，

∴Rt△EOF∽Rt△ABO，

∴∠AOB＝∠EFO．

∵∠AOB+∠FOC＝90°，

∴∠EFO+∠FOC＝90°，即∠FCO＝90°，

∴EF⊥OA；

（3）由題可得∠EOF＝∠ABE＝90°，

若△OEF∽△BEA，則，

∴，

解得t＝（符合題意）；

若△OEF∽△BAE，則，

∴，

解得t＝0（不合題意），

綜上所述，當t＝時，存在△OEF∽△BEA．