Question

【題目】背景資料:

在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)P，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．

這個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”．

如圖①，當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，此時(shí)∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此時(shí)，PA＋PB＋PC的值最小．

解決問題：

（1）如圖②，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．

為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時(shí)△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出∠APB=　 　；

基本運(yùn)用：

（2）請(qǐng)你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：

如圖③，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F為BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，判斷BE，EF，FC之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

能力提升：

（3）如圖④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，點(diǎn)P為Rt△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，

連接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．

Answer 1

【答案】（1）150°；

（2）E′F2=CE′2+FC2，理由見解析；

（3）．

【解析】試題分析：（1）

（2）首先把△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACE′．連接E′F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，然后再證明△EAF≌△E′AF可得E′F=EF，，再利用勾股定理可得結(jié)論；

（3）將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，根據(jù)已知證明C、O、A′、O′四點(diǎn)共線，在Rt△A′BC中，利用勾股定理求得A′C的長，根據(jù)新定義即可得OA+OB+OC =．

試題解析：（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∴將△ABP繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，如圖，連結(jié)PP′，

∴AP=AP′=3，∠PAP′=60°，P′C=PB=4，∠APB=∠AP′C，

∴△APP′為等邊三角形，

∴∠PP′A=60°，PP′=AP=3，

在△PP′C中，∵PP′=3，P′C=4，PC=5，

∴PP′2+P′C2=PC2，

∴△PP′C為直角三角形，∠PP′C=90°，

∴∠AP′C=∠PP′A+∠PP′C=60°+90°=150°，

∴∠APB=150°，

故答案為：150°；

（2）E′F2=CE′2+FC2，理由如下：

如圖2，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，

∴∠EAF=∠E′AF，

在△EAF和△E′AF中， ，

∴△EAF≌△E′AF（SAS），

∴E′F=EF，

∵∠CAB=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∴∠E′CF=45°+45°=90°，

由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2，即EF2=BE2+FC2；

（3）如圖3，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2，

∴BC==，

∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，∴△A′O′B如圖所示；

∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，

∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2，

∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，

∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，

∴△BOO′是等邊三角形，

∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，

∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，

∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，

∴C、O、A′、O′四點(diǎn)共線，

在Rt△A′BC中，A′C===，

∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C=．