Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，邊長為6的正方形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸的正半軸上，直線y=mx+2與OC，BC兩邊分別相交于點D，G，以DG為邊作菱形DEFG，頂點E在OA邊上．

（1）如圖1，頂點F在邊AB上，當CG=OD時，

求m的值；

菱形DEFG是正方形嗎?如果是請給予證明.

（2）如圖2，連接BF，設CG=a，△FBG的面積為S，求S與a的函數關系式；

（3）如圖3，連接GE，當GD平分∠CGE時，請直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）m=2證明見解析（2）①2；6﹣a（3）m=

【解析】試題分析：（1）將x=0代入y=mx+2得y=2，故此點D的坐標為（0，2），由CG=OD=2可知點G的坐標為（2，6），將點G（2，6）代入y=mx+2可求得m=2；

（2）如圖1所示：過點F作FH⊥BC，垂足為H，延長FG交y軸與點N．先證明Rt△GHF≌Rt△EOD，從而得到FH=DO=2，由三角形的面積公式可知：S=6-a．

（3）如圖2所示：連接DF交EG于點M，過點M作MN⊥y軸，垂足為N．由菱形的性質可知：DM⊥GM，點M為DF的中點，根據角平分線的性質可知：MD=CD=4，由中點坐標公式可知點M的縱坐標為3，于是得到ND=1，根據勾股定理可求得MN=，于是得到點M的坐標為（，3）然后利用待定系數法求得DM、GM的解析式，從而可得到點G的坐標，最后將點G的坐標代入y=mx+2可求得m=．

解：（1）∵將x=0代入y=mx+2得；y=2，∴點D的坐標為（0，2）．

∵CG=OD=2，∴點G的坐標為（2，6）．

將點G（2，6）代入y=mx+2得：2m+2=6．解得：m=2．

證明△DOE≌△GCD（HL），再證明∠GDE=90°，即可證出菱形GDEF為正方形.

（2）①如圖1所示：過點F作FH⊥BC，垂足為H，延長FG交y軸與點N．

∵四邊形DEFG為菱形，∴GF=DE，GF∥DE．∴∠GNC=∠EDO．

∴∠NGC=∠DEO．∴∠HGF=∠DEO．

在Rt△GHF和Rt△EOD中，

，

∴Rt△GHF≌Rt△EOD．∴FH=DO=2．

∴=×2×（6﹣a）=6﹣a．

（3）如圖2所示：連接DF交EG于點M，過點M作MN⊥y軸，垂足為N．

又∵四邊形DEFG為菱形，

∴DM⊥GM，點M為DF的中點．

∵GD平分∠CGE，DM⊥GM，GC⊥OC，

∴MD=CD=4．

∵由（2）可知點F的坐標為4，點D的縱坐標為2，

∴點M的縱坐標為3．

∴ND=1．

在Rt△DNM中，MN==．

∴點M的坐標為（，3）．

設直線DM的解析式為y=kx+2．將（，3）代入得：k+2=3．

解得：k=．

∴設直線MG的解析式為y=x+b．將（，3）代入得：﹣15+b=3．

解得：b=18．

∴直線MG的解析式為y=﹣x+18．

將y=6代入得：．

解得：x=．

∴點G的坐標為（，6）．

將（，6）代入y=mx+2得：m+2=6．

解得：m=．