Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點．△ABC的邊BC在x軸上，A、C兩點的坐標分別為A（0，m）、C（n，0），B（-5，0），且，點P從B出發，以每秒2個單位的速度沿射線BO勻速運動，設點P運動時間為t秒．

（1）求A、C兩點的坐標；

（2）連接PA，用含t的代數式表示△POA的面積；

（3）當P在線段BO上運動時，在y軸上是否存在點Q，使△POQ與△AOC全等？若存在，請求出t的值并直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A的坐標是（0，4），C的坐標是（3，0）；（2）當0≤t＜時，s=10-4t；當t=時,s=0；當t＞時，

【解析】

試題分析：（1）根據偶次方和算術平方根的非負性得出n-3=0，3m-12=0，求出即可；

（2）分為三種情況：當0≤t＜時，P在線段OB上，②當t=時，P和O重合，③當t＞時，P在射線OC上，求出OP和OA，根據三角形的面積公式求出即可；

（3）分為四種情況：①當BP=1，OQ=3時，②當BP=2，OQ=4時，③④利用圖形的對稱性直接寫出其余的點的坐標即可．

試題解析：（1）∵，

∴n-3=0，3m-12=0，

n=3，m=4，

∴A的坐標是（0，4），C的坐標是（3，0）；

（2）∵B（-5，0），

∴OB=5，

①當0≤t＜時，P在線段OB上，如圖1，

∵OP=5-2t，OA=4，

∴△POA的面積S=×OP×AP=×（5-2t）×4=10-4t；

②當t=時，P和O重合，此時△APO不存在，即S=0；

③當t＞時，P在射線OC上，如備用圖2，

∵OP=2t-5，OA=4，

∴△POA的面積S=×OP×AP=×（2t-5）×4=4t-10；

（3）當P在線段BO上運動時，在y軸上存在點Q，使△POQ與△AOC全等，

∵P在線段BO上運動，

∴t≤5÷2=2．5，

①當BP=1，OQ=3時，△POQ和△AOC全等，

此時t=，Q的坐標是（0，3）；

②當BP=2，OQ=4時，△POQ和△AOC全等，

此時t==1，Q的坐標是（0，4）；

③④由對稱性可知Q為（0，-3）、（0，-4）

綜上所述，t=或1時，Q的坐標是（0，3）或（0，4）或（0，-3）或（0，-4）．