Question

【題目】如圖，AB為半圓O的直徑，AC是⊙O的一條弦，D為 的中點，作DE⊥AC，交AB的延長線于點F，連接DA．
（1）求證：EF為半圓O的切線；
（2）若DA=DF=6 ，求陰影區域的面積．（結果保留根號和π）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵D為 的中點，

∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ADO，

∴∠CAD=∠ADO，

∵DE⊥AC，

∴∠E=90°，

∴∠CAD+∠EDA=90°，即∠ADO+∠EDA=90°，

∴OD⊥EF，

∴EF為半圓O的切線

（2）解：連接OC與CD，

∵DA=DF，

∴∠BAD=∠F，

∴∠BAD=∠F=∠CAD，

又∵∠BAD+∠CAD+∠F=90°，

∴∠F=30°，∠BAC=60°，

∵OC=OA，

∴△AOC為等邊三角形，

∴∠AOC=60°，∠COB=120°，

∵OD⊥EF，∠F=30°，

∴∠DOF=60°，

在Rt△ODF中，DF=6 ，

∴OD=DFtan30°=6，

在Rt△AED中，DA=6 ，∠CAD=30°，

∴DE=DAsin30 ，EA=DAcos30°=9，

∵∠COD=180°﹣∠AOC﹣∠DOF=60°，

∴CD∥AB，

故S△ACD=S△COD，

∴S陰影=S△AED﹣S扇形COD= ×9×3 ﹣ π×62= ﹣6π

【解析】（1）直接利用切線的判定方法結合圓心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；（2）直接利用得出S△ACD=S△COD ， 再利用S陰影=S△AED﹣S扇形COD ， 求出答案．
【考點精析】掌握扇形面積計算公式是解答本題的根本，需要知道在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．