Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，與軸交于點(diǎn)，且.

(1)求線段的長(zhǎng)度:

(2)若點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)位于第二象限，過作，垂足為.已知，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）AC=4

（2）P（-1,4）或（-2,3）.

【解析】

（1）求出B點(diǎn)坐標(biāo),再利用OA=OB求出A點(diǎn)坐標(biāo),代入二次函數(shù)求出解析式,再令y=0即可求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而即可解題；（2）作PF∥x軸于F,利用∠BAO=45°,證明三角形PQF是等腰直角三角形,求出PF=2,再設(shè)出P,F的坐標(biāo),代入直線解析式求解方程即可解題.

解：（1）由可知二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為B（0,3）

∵OA=OB,

∴A（-3,0）,

將A點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式得：b=-2,即二次函數(shù)解析式為,

令y=0,即解得：x1=-3,x2=1,

∴C（1,0）

∴AC=4,

（2）過點(diǎn)P作PF∥x軸于F,

由A,B坐標(biāo)可得直線AB的解析式為y=x+3,

∴∠BAO=45°,

又∵, PF∥x軸

∴三角形PQF是等腰直角三角形,

設(shè)P(a,b),

∵P在拋物線上,

∴b=-a2-2a+3,

∵

∴PF=2（勾股定理）,

∴F（a+2, -a2-2a+3）

將F代入y=x+3,即-a2-2a+3=a+5,

解得a1=-1,a2=-2,

∴P（-1,4）或（-2,3）.