Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形， ，AC為直徑， DE⊥BC，垂足為E．

（1）求證：CD平分∠ACE；

（2）若AC＝9，CE＝3，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CD=3

【解析】試題分析：（1）根據圓周角定理，由弧AD=弧BD可得∠BAD＝∠ACD，再根據圓內接四邊形的性質得∠DCE=∠BAD，所以∠ACD=∠DCE；

（2）先證明△DCE∽△ACD，再根據相似三角形的性質列比例式求解.

證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O內接四邊形，∴∠BAD＋∠BCD＝180°，

∵∠BCD＋∠DCE＝180°，∴∠DCE＝∠BAD，

∵＝，∴∠BAD＝∠ACD，

∴∠DCE＝∠ACD，

∴CD平分∠ACE．

（2）∵AC為直徑，∴∠ADC＝90°，

∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠ADC…

∵∠DCE＝∠ACD，∴△DCE∽△ACD，

∴=，即=，

∴CD=3