Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是CD的中點，過點C作CF∥AB叫AE的延長線于點F．
（1）求證：△ADE≌△FCE；
（2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點E是CD的中點，

∴DE=CE．

∵AB∥CF，

∴∠BAF=∠AFC．

在△ADE與△FCE中，

∵ ，

∴△ADE≌△FCE（AAS）

（2）解：由（1）得，CD=2DE，

∵DE=2，

∴CD=4．

∵點D為AB的中點，∠ACB=90°，

∴AB=2CD=8，AD=CD= AB．

∵AB∥CF，

∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，

∴∠DAC=∠ACD= ∠BDC= ×60°=30°，

∴BC= AB= ×8=4

【解析】（1）先根據點E是CD的中點得出DE=CE，再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC，根據AAS定理可得出△ADE≌△FCE；（2）根據直角三角形的性質可得出AD=CD= AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性質可得出∠DAC=∠ACD= ∠BDC=30°，進而可得出結論．
【考點精析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線的相關知識點，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半才能正確解答此題．