Question

【題目】在△ABC中，點D在邊BA或BA的延長線上，過點D作DE∥BC，交∠ABC的角平分線于點E．

（1）如圖1，當點D在邊BA上時，點E恰好在邊AC上，求證：∠ADE=2∠DEB；

（2）如圖2，當點D在BA的延長線上時，請直接寫出∠ADE與∠DEB之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠ADE+2∠DEB=180°.

【解析】

（1）由角平分線的定義可得出∠ABE=∠CBE，由平行線的性質可得出∠CBE=∠DEB、∠ADE=∠ABC，進而可得出∠ABE=∠DEB，再利用三角形外角的性質即可證出∠ADE=2∠DEB；

（2）由角平分線的定義可得出∠ABC=2∠CBE，利用平行線的性質可得出∠DEB=∠CBE，進而可得出∠ABC=2∠DEB，再利用“兩直線平行，同旁內角互補”可證出∠ADE+2∠DEB=180°．

證明：（1）∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE．

∵DE∥BC，

∴∠CBE=∠DEB，∠ADE=∠ABC，

∴∠ABE=∠DEB，

∴∠ADE=∠ABE+∠DEB=2∠DEB．

（2）∠ADE+2∠DEB=180°．

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠CBE．

∵DE∥BC，

∴∠DEB=∠CBE，∠ADE+∠ABC=180°，

∴∠ABC=2∠DEB，

∴∠ADE+2∠DEB=180°．