Question

如圖，已知P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=1，PB=2，PC=3，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，這時(shí)P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到G點(diǎn)，連接BG、CG、PG。

（1）△ABP以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了            度；
（2）求出PG的長度；(3)以點(diǎn)G為圓心，r為半徑作⊙G：
①當(dāng)半徑r滿足                           時(shí)，⊙G與邊PC只有一個(gè)交點(diǎn);
②當(dāng)半徑r滿足                           時(shí)，⊙G與邊PC有兩個(gè)交點(diǎn);
③當(dāng)半徑r滿足       時(shí)，⊙G與邊PC沒有交點(diǎn)。

Answer 1

（1）90；（2）；（3），＜r＜1；r＞.

試題分析：（1）根據(jù)題意知∠ABC=90°，將△ABP沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為∠ABC=90°；
（2）連接PG，證明△BPG為等腰直角三角形，BP=BG=2，由勾股定理可求PG；
（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CG=AP=1，已知PC=3，由（2）可知PG，利用勾股定理的逆定理，判斷△PGC為直角三角形．利用面積法求出點(diǎn)G到PC的距離，即可解答.
試題解析：（1）旋轉(zhuǎn)后的△BCG如圖所示，旋轉(zhuǎn)角為∠ABC=90°；

（2）連接PG，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知BP=BG，∠PBG=∠ABC=90°，
∴△BPG為等腰直角三角形，
又BP=BG=2，
∴PG= ；
（3）（3）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知CG=AP=1，已知PC=3，
由（2）可知PG=，
∵PG²+CG²=（）²+1²=9，PC²=9，
∴PG²+CG²=PC²，
∴△PGC為直角三角形．
過G作GE⊥PC，垂足為E

∵
∴.
∴當(dāng)時(shí)，⊙G與邊PC只有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)＜r＜1時(shí)，⊙G與邊PC有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)r＞時(shí)，⊙G與邊PC沒 有交點(diǎn)。
考點(diǎn): 1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.勾股定理；3.勾股定理的逆定理；4.正方形的性質(zhì).