Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABO中，∠B=90°，∠OAB=30°，OA=3．以點(diǎn)O為原點(diǎn)，斜邊OA所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，以點(diǎn)P（4，0）為圓心，PA長為半徑畫圓，⊙P與x軸的另一交點(diǎn)為N，點(diǎn)M在⊙P上，且滿足∠MPN=60°．⊙P以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，解答下列問題：

（發(fā)現(xiàn)）（1）的長度為多少；

（2）當(dāng)t=2s時(shí)，求扇形MPN（陰影部分）與Rt△ABO重疊部分的面積．

（探究）當(dāng)⊙P和△ABO的邊所在的直線相切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（拓展）當(dāng)與Rt△ABO的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，請你直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】【發(fā)現(xiàn)】（1）的長度為；（2）重疊部分的面積為；【探究】：點(diǎn)P的坐標(biāo)為；或或；【拓展】t的取值范圍是或，理由見解析．

【解析】

發(fā)現(xiàn)：（1）先確定出扇形半徑，進(jìn)而用弧長公式即可得出結(jié)論；

（2）先求出PA=1，進(jìn)而求出PQ，即可用面積公式得出結(jié)論；

探究：分圓和直線AB和直線OB相切，利用三角函數(shù)即可得出結(jié)論；

拓展：先找出和直角三角形的兩邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的分界點(diǎn)，即可得出結(jié)論．

[發(fā)現(xiàn)]

（1）∵P（4，0），∴OP=4．

∵OA=3，∴AP=1，∴的長度為．

故答案為：；

（2）設(shè)⊙P半徑為r，則有r=4﹣3=1，當(dāng)t=2時(shí)，如圖1，點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，∴PA=r=1，設(shè)MP與AB相交于點(diǎn)Q．在Rt△ABO中，∵∠OAB=30°，∠MPN=60°．

∵∠PQA=90°，∴PQPA，∴AQ=AP×cos30°，∴S重疊部分=S△APQPQ×AQ．

即重疊部分的面積為．

[探究]

①如圖2，當(dāng)⊙P與直線AB相切于點(diǎn)C時(shí)，連接PC，則有PC⊥AB，PC=r=1．

∵∠OAB=30°，∴AP=2，∴OP=OA﹣AP=3﹣2=1；

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）；

②如圖3，當(dāng)⊙P與直線OB相切于點(diǎn)D時(shí)，連接PD，則有PD⊥OB，PD=r=1，∴PD∥AB，∴∠OPD=∠OAB=30°，∴cos∠OPD，∴OP，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；

③如圖4，當(dāng)⊙P與直線OB相切于點(diǎn)E時(shí)，連接PE，則有PE⊥OB，同②可得：OP；

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；

[拓展]

t的取值范圍是2＜t≤3，4≤t＜5，理由：

如圖5，當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)A重合時(shí)，與Rt△ABO的邊有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)t=2；

當(dāng)t＞2，直到⊙P運(yùn)動(dòng)到與AB相切時(shí)，由探究①得：OP=1，∴t3，與Rt△ABO的邊有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴2＜t≤3．

如圖6，當(dāng)⊙P運(yùn)動(dòng)到PM與OB重合時(shí)，與Rt△ABO的邊有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)t=4；

直到⊙P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N與點(diǎn)O重合時(shí)，與Rt△ABO的邊有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)t=5；

∴4≤t＜5，即：t的取值范圍是2＜t≤3，4≤t＜5．