Question

【題目】如圖，等腰△ABC三個頂點在⊙O上，直徑AB=12，P為弧BC上任意一點（不與B，C重合），直線CP交AB延長線與點Q，2∠PAB+∠PDA=90°，下列結論：①若∠PAB=30°，則弧BP的長為；②若PD//BC，則AP平分∠CAB；③若PB=BD，則，④無論點P在弧上的位置如何變化，CP·CQ為定值. 正確的是___________.

Answer 1

【答案】②③④.

【解析】試題解析：如圖，連接OP，

∵AO=OP，∠PAB=30°，

∴∠POB=60°，

∵AB=12，

∴OB=6，

∴弧的長為=2π，故①錯誤；

∵PD是⊙O的切線，

∴OP⊥PD，

∵PD∥BC，

∴OP⊥BC，

∴=，

∴∠PAC=∠PAB，

∴AP平分∠CAB，故②正確；

若PB=BD，則∠BPD=∠BDP，

∵OP⊥PD，

∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，

∴∠BOP=∠BPO，

∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等邊三角形，

∴PD=OP=6，故③正確；

∵AC=BC，

∴∠BAC=∠ABC，

又∵∠ABC=∠APC，

∴∠APC=∠BAC，

又∵∠ACP=∠QCA，

∴△ACP∽△QCA，

∴，即CPCQ=CA2（定值），故④正確；

故答案為：②③④．