Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）與y軸交于點A，與x軸交于點B，C兩點（點C在x軸正半軸上），△ABC為等腰直角三角形，且面積為4．現將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線經過點C時，與x軸的另一交點為E，其頂點為F，對稱軸與x軸的交點為H．

（1）求a，c的值；
（2）連結OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說明理由；
（3）現將一足夠大的三角板的直角頂點Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點E，另一直角邊與y軸相交于點P，是否存在這樣的點Q，使以點P，Q，E為頂點的三角形與△POE全等？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△ABC為等腰直角三角形，

∴OA= BC．

又∵△ABC的面積= BC×OA=4，即OA2=4，

∴OA=2．

∴A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0）．

∴ ，

解得： ．

（2）

解：△OEF是等腰三角形．理由如下：如答圖1，

∵A （0，2）），B （﹣2，0），

∴直線AB的函數表達式為：y=x+2，

又∵平移后的拋物線頂點F在射線BA上，

∴設頂點F的坐標為（m，m+2）．

∴平移后的拋物線函數表達式為：y=﹣ （x﹣m）2+m+2．

∵拋物線過點C （2，0），

∴﹣ （x﹣m）2+m+2=0，解得m1=0，m2=6．

∴平移后的拋物線函數表達式為：y=﹣（x﹣6）2+8，

即y=﹣ x2+6x﹣10．

當y=0時，﹣ x2+6x﹣10=0，

解得x1=2，x2=10．

∴E（10，0），OE=10．

又∵F（6，8），OH=6，FH=8．

∴OF= = =10，

∴OE=OF，即△OEF為等腰三角形．

（3）

解：存在點Q（6，2 ）或（6，3）或（10，12）或（4+ ，6+ ）或（4﹣ ，6﹣ ），使以P，Q，E三點為頂點的三角形與△POE全等．

理由如下：

點Q的位置分兩種情形：

情形一：點Q在射線HF上，

當點P在x軸上方時，如答圖2．

∵△PQE≌△POE，

∴QE=OE=10．

在Rt△QHE中，QH= = =2 ，

∴Q（6，2 ）．

當點P在x軸下方時，如答圖3，有PQ=OE=10，

過P點作PK⊥HF于點K，則有PK=6．

在Rt△PQK中，QK= = =8，

∵∠PQE=90°，

∴∠PQK+∠HQE=90°．

∵∠HQE+∠HEQ=90°，

∴∠PQK=∠HEQ．

又∵∠PKQ=∠QHE=90°，

∴△PKQ∽△QHE．

∴ ，

即 ，

解得QH=3．

∴Q（6，3）．

情形二：點Q在射線AF上，

當PQ=OE=10時，如答圖4，有QE=PO，

∴四邊形POEQ為矩形，

∴Q的橫坐標為10．

當x=10時，y=x+2=12，

∴Q（10，12）．

當QE=OE=10時，如答圖5．

過Q作QM⊥y軸于點M，過E點作x軸的垂線交QM于點N，

設Q的坐標為（x，x+2），

∴MQ=x，QN=10﹣x，EN=x+2．

在Rt△QEN中，有QE2=QN2+EN2，

即102=（10﹣x）2+（x+2）2，

解得：x=4± ．

當x=4+ 時，如答圖5，y=x+2=6+ ，

∴Q（4+ ，6+ ）．

當x=4﹣ 時，如答圖6，y=x+2=6﹣ ，

∴Q（4﹣ ，6﹣ ）．

綜上所述，存在點Q（6，2 ）或（6，3）或（10，12）或（4+ ，6+ ）或（4﹣ ，6﹣ ），使以P，Q，E三點為頂點的三角形與△POE全等．

【解析】（1）由△ABC為等腰直角三角形，且面積為4，易求得OA的長，即可求得點A，B，C的坐標，然后由待定系數法求得答案；（2）首先求得直線AB的函數表達式，設頂點F的坐標為（m，m+2），由拋物線過點C （2，0），可求得平移后的拋物線函數表達式，繼而求得點E的坐標，即可判定△OEF是等腰三角形；（3）分別情形一：從點Q在射線HF上，當點P在x軸上方時或當點P在x軸下方時，以及情形二：點Q在射線AF上，去分析求解即可求得答案．