Question

【題目】如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．

（1）動手操作：利用尺規作以BC為直徑的⊙O，⊙O交AB于點D，⊙O交AC于點E，并且過點D作DF⊥AC交AC于點F．
（2）求證：直線DF是⊙O的切線；
（3）連接DE，記△ADE的面積為S1 ， 四邊形DECB的面積為S2 ， 求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如下圖所示，圖形為所求；

（2）

證明：連接OD

∵DF⊥AC，

∴∠AFD=90°，

∵AC=BC，

∴∠A=∠B，

∵OB=OD，

∴∠B=∠ODB，

∴∠A=∠ODB

∴OD∥AC，

∴∠ODF=∠AFD=90°，

∴直線DF是⊙O的切線；

（3）

解：連接DE；

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，

∵AC=BC，CD⊥AB，

∴AD=BD= AB=6，

∵四邊形DECB是圓內接四邊形，

∴∠BDE+∠C=180°，

∵∠BDE+∠ADE=180°，

∴∠C=∠ADE，

∵在△ADE和△ACB中，∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，

∴△ADE∽△ACB，

∴ = ，

∴ = ，

∵S△ABC=S△ADE+S四邊形DECB，

∴ = = ，

∴ = ，即 = ．

【解析】（1）根據題意作出圖形即可；（2）連接OD，根據等腰三角形的性質得到∠A=∠ODB根據平行線的判定得到OD∥AC，由平行線的性質得到∠ODF=∠AFD=90°，于是得到結論；（3）連接DE；根據圓周角定理得到∠CDB=90°，即CD⊥AB，由等腰三角形的性質得到AD=BD= AB=6，根據圓內接四邊形的性質得到∠BDE+∠C=180°，等量代換得到∠C=∠ADE，根據相似三角形的性質得到 = ，于是得到結論．