Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點為M(2，-4)，且過點A(-1，5)，連接AM交x軸于點B．

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)求點B的坐標；

(3)設點P(x，y)是拋物線在x軸下方、頂點左方一段上的動點，連接PO，過以P為頂角頂點、PO為腰的等腰三角形的另一頂點C作x軸的垂線交直線AM于點D，連結PD，設△PCD的面積為S，求S與x之間的函數關系式；

(4)在上述動點P(x，y)中，是否存在使=2的點?若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3） ;（4）存在動點P，使，此時P點坐標為（1，－3）．

【解析】

（1）根據拋物線的頂點為M（2，﹣4），且過點A（﹣1，5），用待定系數法即可求出二次函數的解析式即可；

（2）由于直線AM過A，M兩點，可用待定系數法求出直線的解析式，從而求出直線與x軸的交點B的坐標．

（3）設點P（x，y），則C的坐標是（2x，0），把2x代入直線AM的解析式，就可以求出D的坐標．得到CD的長度，CD邊上的高是x，因而△PCD的面積就可以用x表示出來，得到S與x的函數解析式．

（4）使S△PCD＝2，把s＝2代入函數的解析式，就可以得到關于x的方程，解方程求解即可．

解：（1）設拋物線的解析式為y＝a(x﹣h)2+k（a≠0），

∵頂點為M（2，﹣4），

∴y＝a(x﹣2)2﹣4，

∵根據拋物線過點A（﹣1，5），

∴5＝a(﹣1﹣2)2﹣4，

解得：a＝1，

∴y＝(x﹣2)2﹣4＝x2﹣4x，

∴這條拋物線的解析式為y＝x2﹣4x；

（2）設直線AM的解析式為y＝kx+b（k≠0），

把M（2，﹣4），A（﹣1，5）兩點代入，

得，

解得，

故直線AM的解析式為y＝﹣3x+2，

令y＝0，解得x＝，

故B點坐標為（，0）；

（3）點P（x，y）是拋物線在x軸下方、對稱軸左側部分上的點，

當0＜x＜時，

設P（x，x2﹣4x），

∵以PO、PC為腰的等腰三角形的另一頂點C在x軸上，

∴C的坐標是（2x，0），

∵CD⊥x軸，

∴D（2x，﹣6x+2），

∴CD＝|﹣6x+2|＝﹣6x+2，h＝2x﹣x＝x，

∴S△PCD＝×（﹣6x+2）×x＝﹣3x2+x．

當＜x＜2時，

設P（x，x2﹣4x），

∵以PO、PC為腰的等腰三角形的另一頂點C在x軸上，

∴C的坐標是（2x，0），

∵CD⊥x軸，

∴D（2x，﹣6x+2），

∴CD＝|﹣6x+2|＝6x﹣2，h＝2x﹣x＝x，

∴S△PCD＝×（6x﹣2）×x＝3x2﹣x．

∴S＝；

（4）s＝2代入（3）中函數的解析式即可得

2＝﹣3x2+x或2＝3x2﹣x，

當2＝﹣3x2+x，方程的△＜0，方程無解；

當2＝3x2﹣x，解得：x1＝1，x2＝﹣，

當x＝1時y＝x2﹣4x＝﹣3，即拋物線上的P點坐標為（1，﹣3）時，s＝2成立；

當x＝﹣＜0（舍去），

∴存在動點P，使S＝2，此時P點坐標為（1，﹣3）．