Question

【題目】如圖1，等邊三角形中，D為邊上一點(diǎn)，滿足，連接，以點(diǎn)A為中心，將射線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，與的外角平分線交于點(diǎn)E．

（1）依題意補(bǔ)全圖1；

（2）求證：；

（3）若點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為F，連接．

①求證：；

②若成立，直接寫出的度數(shù)為_________°．

Answer 1

【答案】（1）圖見解析；（2）證明見解析；（3）①證明見解析； ②20°．

【解析】

（1）根據(jù)題意，射線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，用尺規(guī)作圖法，做出∠DAE = ∠C = 60°，再連接DE，即完成作圖；

（2）在等邊三角形ABC中,由可得出；由射線繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到射線，可得∠DAE =，進(jìn)而得出；由平分∠ABC的外角可得，進(jìn)而推出，由此可證（ASA），再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)易證；

（3）①連接，設(shè)，根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)F關(guān)于直線對(duì)稱的性質(zhì)可得，；由易得；在等邊三角形中， 由，，易證，，又因?yàn)?/span>，再根據(jù)三角形AFC的內(nèi)角和定理，可推出，和前面的證明聯(lián)立可得，所以同旁內(nèi)角互補(bǔ)，.

②通過圖中各個(gè)三角形的內(nèi)角和之間的關(guān)系，設(shè)∠BAD=α，通過證明∠CFA=∠COF推論出，即可計(jì)算出∠BAD=20°.

（1）依題意補(bǔ)全圖形

（2）證明：

∵是等邊三角形，

∴．

∴．

∵射線繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到射線，

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

∵平分，

∴．

∴．

∴．

∴．

（3）①證明：連接，設(shè)，

∵點(diǎn)B與點(diǎn)F關(guān)于直線對(duì)稱，

∴，．

∵，

∴．

∵等邊三角形中，，

∴

∵，

∴．

∴．

∵，

且，

∴．

∴．

∴．

② 由① 知 ，

∴∠EAF=∠F=

∴∠DAF = α，

∵，由②知BE=CD

∴BD=CF

∴∠CFA=∠COF

∴

∴3α=60°

∴α=20°