Question

【題目】如圖所示，一元二次方程x2+2x-3=0的兩根x1，x2（x1＜x2）是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交點C，B的橫坐標，且此拋物線過點A（3，6）

（1）求此拋物線的函數解析式；

（2）設此拋物線的頂點為P，對稱軸與線段AC交于點Q，求點P，Q的坐標．

（3）在x軸上是否存在以動點M，使MQ+MA有最小值，若存在求出點M的坐標和最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P（﹣1，﹣2），Q（﹣1，2）；（3）存在，MQ+MA的最小值為.

【解析】

（1）先求解方程x2+2x-3=0，得到B，C兩點坐標，再設出拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1），再將點A（3,6）代入求解即可；

（2）將拋物線解析式化為頂點式得到P點坐標，設直線AC的解析式為y=kx+b，將A，C兩點坐標代入得到直線AC的解析式，然后即可求得Q點坐標；

（3）連接AP，與x軸的交點即為所求點M，連接QM，根據點P，Q關于x軸對稱，可得此時QM+AM=PM+AM為最小值，設直線AP的解析式為y=ax+c，利用待定系數法求求得直線AP的解析式，得到M點坐標為（0，0），過點A向PQ作垂線，垂足為H，在Rt△AHP中，利用勾股定理即可求得PA的值.

解：（1）解方程x2+2x-3=0，得x1=﹣3，x2=1，

∴交點C（﹣3,0），B（1,0），

設拋物線解析式為y=a（x+3）（x﹣1），

∵點A（3，6）在拋物線上，

∴解得a=，

則拋物線的函數解析式為；

（2）∵，

∴頂點P的坐標為（﹣1，﹣2），對稱軸為直線x=﹣1，

設直線AC的解析式為y=kx+b，

∵A（3,6），C（﹣3,0）在直線AC上，

∴，

解得：k=1，b=3，

∴直線AC的解析式為：y=x+3，

當x=﹣1時，y=﹣1+3=2，

∴Q點坐標為（﹣1，2）；

（3）存在，理由如下，

∵點P與點Q橫坐標相等，縱坐標互為相反數，

∴點P，Q關于x軸對稱，

∴連接AP，與x軸的交點即為所求點M，連接QM，

∴QM=PM，

∴QM+AM=PM+AM，

設直線AP的解析式為y=ax+c，

將A（3，6），P（﹣1，﹣2）代入y=ax+c得：

，

解得得a=2，c=0，

∴y=2x，

令y=0，則x=0，

∴點M的坐標為（0，0），

過點A向PQ作垂線，垂足為H，

則AH=4，PH=8，

在Rt△AHP中，，

∴MQ+MA=.