Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有實數根．

（1）求k的取值范圍；

（2）若此方程的兩實數根x1，x2滿足x12+x22=11，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）k≤；（2）k=﹣1．

【解析】

（1）根據方程有實數根得出△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，解之可得；

（2）利用根與系數的關系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根據條件可得到關于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判別式進行取舍．

（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有實數根，

∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，

解得k≤；

（2）由根與系數的關系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，

∵x12+x22=11，

∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，

∵k≤，

∴k=4（舍去），

∴k=﹣1．