Question

【題目】已知：如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，4），點D是OA中點，點P在BC上以每秒1個單位的速度由C向B運動，設運動時間為t秒．

（1）△ODP的面積S=________．

（2）t為何值時，四邊形PODB是平行四邊形？

（3）在線段PB上是否存在一點Q，使得ODQP為菱形？若存在，求t的值，并求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）若△OPD為等腰三角形，請寫出所有滿足條件的點P的坐標（請直接寫出答案，不必寫過程）

Answer 1

【答案】（1）10；（2）5；（3）（8，4）；（4）滿足條件的點P的坐標為P1（3，4），P2（2.5，4），P3（2，4），P4（8，4）.

【解析】

試題（1）根據三角形的面積公式即可求出△ODP的面積S；

（2）由于PB∥OD，根據平行四邊形的判定可知當PB=OD=5時，四邊形PODB是平行四邊形，再求出PC=5，從而求出t的值；

（3）根據菱形的判定，當OD=OP=PQ=5時，四邊形ODQP為菱形，在Rt△OPC中，利用勾股定理求出CP的值，進而求出t的值及Q點的坐標；

（4）當△OPD為等腰三角形時，分三種情況進行討論：①如果O為頂點，那么OP=OD=5，②如果P為頂點，那么PO=PD，③如果D為頂點，那么DP=DO=5，分別做輔助線，利用勾股定理求出P點的坐標.

試題解析：（1）∵O為坐標原點，A（10，0），四邊形OABC為矩形，C（0，4），

∴OA=BC=10，OC=4，

∵點D是OA中點，

∴OD=DA= OA=5，

∴△ODP的面積S= ODOC= ×5×4=10．

（2）解：∵PB∥OD，

∴當PB=OD時，四邊形PODB是平行四邊形，

∵OD=5，

∴PB=5，

∴PC=BC﹣PB=10﹣5=5，

∵點P在BC上以每秒1個單位的速度由C向B運動，

∴t=5

（3）解：當OD=OP=PQ=5時，ODQP為菱形，

在Rt△OPC中，由勾股定理得：

PC= = =3，

∴t=3，CQ=CP+PQ=3+5=8，

∴Q點的坐標為（8，4）

（4）解：△OPD為等腰三角形時，分三種情況：

①如果O為頂點，那么OP=OD=5，

由勾股定理可以求得PC=3，此時P1（3，4）；

②如果P為頂點，那么PO=PD，

作PE⊥OA于E，則OE=ED=2.5，此時P2（2.5，4）；

③如果D為頂點，那么DP=DO=5，

作DF⊥BC于F，由勾股定理，得PF=3，

∴P3C=5﹣3=2或P4C=5+3=8，此時P3（2，4），P4（8，4）．

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為P1（3，4），P2（2.5，4），P3（2，4），P4（8，4）．