Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為1的圓的圓心O在坐標原點，且與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點D，與直線y=x交于點M、N，且MA、NC分別與圓O相切于點A和點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對稱軸交x軸于點E，連接DE，并延長DE交圓O于F，求EF的長；
（3）過點B作圓O的切線交DC的延長線于點P，判斷點P是否在拋物線上，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據圖形，易得點A、B、C、D的坐標；進而可得拋物線上三點D、M、N的坐標，將其代入解析式，求可得解析式；
（2）有（1）的解析式，可得頂點坐標，即OE、DE的長，易得△BFD∽△EOD，再由EF=FD-DE的關系代入數值可得答案；（3）首先根據CD的坐標求出CD的直線方程，在根據切線的性質，可求得P的坐標，進而可得P是否在拋物線上．

解答：解：（1）∵圓心O在坐標原點，圓O的半徑為1
∴點A、B、C、D的坐標分別為A（-1，0）、B（0，-1）、C（1，0）、D（0，1）
∵拋物線與直線y=x交于點M、N，且MA、NC分別與圓O相切于點A和點C
∴M（-1，-1）、N（1，1）
∵點D、M、N在拋物線上，將D（0，1）、M（-1，-1）、N（1，1）的坐標代入y=ax²+bx+c，
得：

c=1 -1=a-b+c 1=a+b+c

解之，得：

a=-1 b=1 c=1

∴拋物線的解析式為y=-x²+x+1．

（2）∵y=-x²+x+1=-（x-

1

2

）²+

5

4

∴拋物線的對稱軸為x=

1

2

∴OE=

1

2

，DE=

1 4 +1

=

5

2

連接BF，則∠BFD=90°
∴△BFD∽△EOD
∴

DE

DB

=

OD

FD

又DE=

5

2

，OD=1，DB=2
∴FD=

4 5

5

∴EF=FD-DE=

4 5

5

-

5

2

=

3 5

10

．

（3）點P在拋物線上．
設過D、C點的直線為y=kx+b
將點C（1，0）、D（0，1）的坐標代入y=kx+b，得
k=-1，b=1
∴直線DC為y=-x+1
過點B作圓O的切線BP與x軸平行，P點的縱坐標為y=-1
將y=-1代入y=-x+1，得x=2
∴P點的坐標為（2，-1）
當x=2時，y=-x²+x+1=-2²+2+1=-1
所以，P點在拋物線y=-x²+x+1上．

點評：本題考查學生將二次函數的圖象與圓的位置關系，要求學生將圖象與解析式互相結合分析、處理問題．