Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，點E、F分別是AB、AD上兩個動點，若AE＝DF，連接BF與DE相交于點G，連接CG，與BD相交于H。

（1）求∠BGE的大小；（2）求證：GC平分∠BGD．

Answer 1

【答案】（1）∠BGE=60°；（2）見解析.

【解析】

（1）由題意可證△ADB是等邊三角形，可得AD=AB=BD，∠DAB=∠ADB=∠ABD，由“SAS”可證△ADE≌△DBF，可得∠ADE=∠DBF，由三角形外角性質可求∠BGE的大小；

（2）過點C作CN⊥BF于點N，過點C作CM⊥ED于點M，由“AAS”可證Rt△CBN≌Rt△CDM，可得CM=CN，由角平分線的性質可得結論．

（1）∵ABCD為菱形,

∴AB＝AD．

∵∠BAD＝60°，

∴△ABD為等邊三角形．

∴∠A=∠BDF=60°．

又∵AE＝DF，AD＝BD,

∴△AED≌△DFB；

∴∠DBG＝∠ADE

∴∠EGB＝∠DBG＋∠BDG＝∠ADE＋∠BDG＝∠ADB＝60°

（2）如圖，過點C作CN⊥BF于點N，過點C作CM⊥ED于點M，

由（1）得∠ADE=∠DBF

∴∠CBF=60°+∠DBF

=60°+∠ADE

=∠DEB

又∠DEB=∠MDC

∴∠CBF=∠CDM

∵BC=CD，∠CBF=∠CDM，∠CMD=∠CNG=90°

∴Rt△CBN≌Rt△CDM（AAS）

∴CN=CM，且CN⊥BF，CM⊥ED

∴點C在∠BGD的平分線上

即GC平分∠BGD.