Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N.當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時（如圖1），易證BM+DN=MN.

（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時（如圖2),線段BM、DN和MN之間有怎樣的數量關系？寫出猜想.并加以證明.

（2）當∠MAN繞點A旋轉到如圖3位置時,線段BM、DN和MN之間有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）MN=BM+DN，證明略；（2）MN=DN-BM，證明略.

【解析】

（1）BM+DN=MN成立，證得B、E、M三點共線即可得到△AEM≌△ANM，從而證得ME=MN．
（2）DN-BM=MN．證明方法與（1）類似，見詳解．

解：（1）BM+DN=MN成立．
證明：證明如下：如圖2，在MB的延長線上，截取BE=DN，連接AE，

在△ABE和△ADN中，

，
∴△ABE≌△ADN（SAS），
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，
∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，
∴∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠EAB+∠BAM=45°，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AEM和△ANM中，

，

∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；

（2）結論：DN-BM=MN．
在線段DN上截取DQ=BM，

在△ADQ與△ABM中，

，
∴△ADQ≌△ABM（SAS），
∴∠DAQ=∠BAM，
∴∠QAN=∠MAN．
在△AMN和△AQN中，

，
∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN=QN，
∴DN-BM=MN．