Question

【題目】如圖，在銳角中，，，的面積為33，點是射線上一動點，以為直徑作圓交線段于點，交射線于點，交射線于點.

（1）當點在線段上時，若點為中點，求的長.

（2）連結，若為等腰三角形，求所有滿足條件的值.

（3）將繞點順時針旋轉，當點的對應點恰好落在上時，記的面積為，的面積，則的值為__________（直接寫出答案即可）.

Answer 1

【答案】(1);(2) 、2 、10;(3) .

【解析】

（1）連結，由為直徑，得，由面積法解得BE=6，根據勾股定理得CE=8，所以，因為點為中點，所以，，，；

（2）需分類討論， 分、、 ，①當時，連結因為，，所以， .

②當時，連結，因為，所以，，，③當時，連結，因為，，可證，所以.

(3) 過點C作CG⊥AB于點G, 過點E作EN⊥AB于點N, 過點E作EM⊥DP于點M, 過點E′作E′H⊥AB于點H,所以NEMD是矩形，根據面積易得CG，因為NE∥GC，E′H∥CG，所以得三角形相似，對應邊成比例即可解答，具體過程見詳解.

（1）連結，∵為直徑，

∴，∴

，，

∵若點為中點，∴，

∵，∴，

（2）情況1：，連結

∵，

，∴

情況2：，連結，，

∴，，

情況3：，連結，

∵，，∴，∴

（3）過點C作CG⊥AB于點G, 過點E作EN⊥AB于點N, 過點E作EM⊥DP于點M, 過點E′作E′H⊥AB于點H,所以NEMD是矩形，S△ABC=×AB×CG,即 ×3×CG=33，解得CG= ,

由（1）得：AE=3，∵NE∥GC，∴AE:AC=NE：GC，即3:11=NE：，解得：NE==DM，由勾股定理得AN=，

∵BP是直徑，∴∠HDM=∠E′DE=90°，∠HDE′-∠E′DM =∠E′DE-∠E′DM，即∠HDE′=∠MDE，又∵DE′=DE，∠DHE′=∠DME=90°，∴△DHE′≌△DME,∴HE′=ME，DH= DM=， 所以 == ，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG=,∵E′H∥CG，∴E′H：BH = CG：BG，即：E′H：BH=:=11：2，設E′H=11a，BH=2a,則E′H=11a=EM=ND，∵AN+ND+DH+HB=AB,即+11a++2a=3 ,解得：a=,∴DB=DH+HB=+2a=+2×=，AD=AN+ND=AN+HE′=+11a=

∵AN：AD=NE：DP, 即 ：= ：DP,∴DP=，∴==：

=.