Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中有一直角三角形AOB，O為坐標原點，OA＝1，tan∠BAO＝3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉90°，得到△DOC，拋物線y＝ax2+bx+c經過點A、B、C．

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點P是第二象限內拋物線上的動點，其橫坐標為t，設拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接PE，交CD于F，求以C、E、F為頂點三角形與△COD相似時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3；（2）當△CEF與△COD相似時，P點的坐標為（﹣1，4）或（﹣2，3）．

【解析】

（1）根據正切函數，可得OB，根據旋轉的性質，可得△DOC≌△AOB，根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）分兩種情況討論：①當∠CEF＝90°時，△CEF∽△COD，此時點P在對稱軸上，即點P為拋物線的頂點；②當∠CFE＝90°時，△CFE∽△COD，過點P作PM⊥x軸于M點，得到△EFC∽△EMP，根據相似三角形的性質，可得PM與ME的關系，解方程，可得t的值，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO3，∴OB＝3OA＝3．

∵△DOC是由△AOB繞點O逆時針旋轉90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1，∴A，B，C的坐標分別為（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式為

，解得：，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，∴對稱軸為l1，∴E點坐標為（﹣1，0），如圖，分兩種情況討論：

①當∠CEF＝90°時，△CEF∽△COD，此時點P在對稱軸上，即點P為拋物線的頂點，P（﹣1，4）；

②當∠CFE＝90°時，△CFE∽△COD，過點P作PM⊥x軸于M點，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM，∴△EFC∽△EMP，∴，∴MP＝3ME．

∵點P的橫坐標為t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．

∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，t＜0，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得：t1＝﹣2，t2＝3（與t＜0矛盾，舍去）．

當t＝﹣2時，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P（﹣2，3）．

綜上所述：當△CEF與△COD相似時，P點的坐標為（﹣1，4）或（﹣2，3）．