Question

【題目】已知：如圖1，在面積為3的正方形ABCD中，E、F分別是BC和CD邊上的兩點，AE⊥BF于點G，且BE=1．

（1）求證：△ABE≌△BCF；

（2）求出△ABE和△BCF重疊部分（即△BEG）的面積；

（3）現將△ABE繞點A逆時針方向旋轉到△AB′E′（如圖2），使點E落在CD邊上的點E′處，問△ABE在旋轉前后與△BCF重疊部分的面積是否發生了變化？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）；

（3）沒有變化，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可證得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF；

（2）由正方形ABCD的面積等于3，即可求得此正方形的邊長，由在△BGE與△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可證得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案；

（3）首先由正切函數，求得∠BAE=30°，易證得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得DE’=B’E’=BE，由（1）可知BE=CF，從而得CF=DE’，繼而可得DF=CE’；

試題解析：（1）正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°， ∵AE⊥BF， ∴∠ABF+∠BAE=90°，∴∠CBF=∠BAE ，∴△ABE ≌△BCF ；

（2）∵正方形面積為3，∴AB=，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE，∴，又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4，∴S△BGE==；

（3） ∵BE=1，AB=，∴tan∠BAE=，∴∠BAE=30°，由已知易證得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，∴DE’=B’E’=BE，∵△ABE≌△BCF，∴BE=CF，∴CF=DE’，∴DF=CE′；