Question

【題目】某店因為經營不善欠下38000元的無息貸款的債務，想轉行經營服裝專賣店又缺少資金．“中國夢想秀”欄目組決定借給該店30000元資金，并約定利用經營的利潤償還債務（所有債務均不計利息）已知該店代理的某品牌服裝的進價為每件40元，該品牌服裝日的售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的關系可用圖中的一條折線（實線）來表示．

（1）求日銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數關系式；

（2）當銷售價為多少元時，該店的日銷售利潤最大；

（3）該店每天支付工資和其它費用共250元，該店能否在一年內還清所有債務．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當銷售價為55元時，該店的日銷售利潤最大，最大利潤為450元；（3）該店能在一年內還清所有債務．

【解析】

（1）利用待定系數法，即可求得日銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數關系式

（2）根據銷售利潤＝銷售量×（售價﹣進價），列出每天的銷售利潤w（元）與銷售價x（元/件）之間的函數關系式，再依據函數的增減性求得最大利潤．

（3）根據（2）中的最大利潤，可求得除去其他支出的利潤，即可判斷能否在一年內還清所有債務

（1）由圖象可得：

當40≤x＜58時，設y=k1x+b1，把（40，60），（58，24）代入得

，解得：，

∴y=﹣2x+140（40≤x＜58）

當58≤x≤71時，設y=k2x+b2，把（58，24），（71，11）代入得

，解得：，

∴y=﹣x+82（58≤x≤71）

故日銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數關系為：;

（2）由（1）得

利潤w=

整理得w=

故當40≤x＜58時，w=﹣2（x﹣55）2+450

∵﹣2＜0，

∴當x=55時，有最大值450元

當58≤x≤71時，w=﹣（x﹣61）2+441

∵﹣1＜0，

∴當x=61時，有最大值441元

綜上可得當銷售價為55元時，該店的日銷售利潤最大，最大利潤為450元

（3）由（2）可知每天的最大利潤為450元，

則有450﹣250=200元

一年的利潤為：200×365=73000元

所有債務為：30000+38000=68000元

∵73000＞68000，

∴該店能在一年內還清所有債務．