Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數圖象與x軸，y軸分別交于點A（8，0），B（0，4），點C的坐標為（3，0），動點D是射線BO上一個動點，連結CD，過點C作CD⊥FC，交一次函數圖象于點F．
（1）求這個一次函數的解析式；
（2）過點F作FE⊥x軸，垂足為點E，當△OCD與△EFC全等時，求出滿足條件的點F的坐標；
（3）點D在運動過程中，是否存在使△ACF是等腰三角形？若存在請求出點F的坐標；不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+4；（2）（2，3）；（3）存在，（0，4）或（8-2 ，）

【解析】

（1）利用待定系數法，由點A（8，0），B（0，4）即可求出直線解析式．
（2）△OCD與△EFC全等分為兩種情況，由全等得出線段EF或CE長度，進而求出點F的橫坐標或縱坐標，代入直線解析式就可以求出點F的坐標．
（3）△ACF是等腰三角形，可以分三種情況討論，根據等腰三角形性質求出F點的坐標．

（1）設一次函數解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數），
將點A（8，0），B（0，4）代入得：
，
解得：k=-，b=4．
故一次函數解析式為：y=-x+4．
（2）∵△OCD與△EFC全等，
∴可以分兩種情況：△OCD≌△EFC或△OCD≌△ECF，

①當△OCD≌△EFC時，
OC=EF=3，
∴點F縱坐標為3，
將y=3代入直線解析式得：x=2，
∴F（2，3）．
②當△OCD≌△ECF，
OC=EC=3，
∴點F橫坐標為6，
將x=6代入直線解析式得：y=1，
∴F（6，1）（不合題意舍棄）．
∴F點坐標為：（2，3）
（3）存在．
△ACF是等腰三角形，
①當CF=AF時，
根據等腰三角形三線合一性質，得點E為AC中點，
AC=5，CE=，
∴OE=，即F點橫坐標為，
將x=代入一次函數得y=，
∴F（）．

此時點D會出現在點B的上方，與題意不符，舍去；

②當AF=AC時，OB=4，OA=8，
AB=4．
∵EF∥OB，
∴△AEF∽△AOB．
∴ ，
解得：EF=．
將y=代入直線解析式，得：x=8-2，
∴F（8-2，）．
③當CF=AC=5時，
∵OC=3，OB=4，
∴BC=5，
此時，CB=CF，點F與點B重合，

∴F(0,4) ，
∴點F坐標為：（0，4)或（8-2，）．