Question

【題目】在綜合實踐課上，老師以“含30°的三角板和等腰三角形紙片”為模具與同學們開展數學活動．

已知，在等腰三角形紙片ABC中，CA=CB=5，∠ACB=120°，將一塊含30°角的足夠大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如圖所示放置，頂點P在線段BA上滑動（點P不與A，B重合），三角尺的直角邊PM始終經過點C，并與CB的夾角∠PCB=α，斜邊PN交AC于點D．

（1）特例感知

當∠BPC＝110°時，α＝　 　°，點P從B向A運動時，∠ADP逐漸變　 　（填“大”或“小”）．

（2）合作交流

當AP等于多少時，△APD≌△BCP，請說明理由．

（3）思維拓展

在點P的滑動過程中，△PCD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出夾角α的大小；若不可以，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）40°，小；（2）當AP＝5時，△APD≌△BCP，理由詳見解析；（3）當α＝45°或90°時，△PCD是等腰三角形．

【解析】

(1)先根據三角形內角和定理求出∠B的度數，再一次運用三角形內角和定理即可求出 的度數；根據三角形內角和定理即可判斷點P從B向A運動時，∠ADP的變化情況；

(2)先根據三角形外角等于與它不相鄰的兩個內角和得到∠APC＝∠B+α＝30°+∠PCB，再證明∠APD＝∠BCP，根據全等三角形的判定定理，即可得到當AP＝5時，△APD≌△BCP．

(3)根據等腰三角形的判定，分三種情況討論即可得到；

解：（1）∵CA=CB=5，∠ACB=120°，

∴∠B=∠A= =30°，

∴ ，

∵三角尺的直角邊PM始終經過點C，

∴再移動的過程中，∠APN不斷變大，∠A的度數沒有變化，

∴根據三角形的內角和定理，得到∠ADP逐漸變小；

故答案為：40°，小．

（2）當AP＝5時，△APD≌△BCP．

理由如下：∵∠ACB＝120°，CA＝CB，

∴∠A＝∠B＝30°．

又∵∠APC是△BPC的一個外角，

∴∠APC＝∠B+α＝30°+∠PCB，

∵∠APC＝∠DPC+∠APD＝30°+∠APD，

∴∠APD＝∠BCP，

當AP＝BC＝5時，

在△APD和△BCP中，

∴△APD≌△BCP（ASA）；

（3）△PCD的形狀可以是等腰三角形．

根據題意得：∠PCD＝120°﹣α，∠CPD＝30°，

有以下三種情況：

①當PC＝PD時，△PCD是等腰三角形，

∴∠PCD＝∠PDC＝＝75°，即120°﹣α＝75°，

∴α＝45°；

②當DP＝DC時，△PCD是等腰三角形，

∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°，

∴α＝90°；

③當CP＝CD時，△PCD是等腰三角形，

∴∠CDP＝∠CPD＝30°，

∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，

即120°﹣α＝120°，

∴α＝0°，

此時點P與點B重合，不符合題意，舍去．

綜上所述，當α＝45°或90°時，△PCD是等腰三角形．