Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，點O是對角線BD中點，點E在邊BC上，EO的延長線與邊AD交于點F，連接BF、DE，如圖1．

（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）在（1）中，若DE＝DC，∠CBD＝45°，過點C作DE的垂線，與DE、BD、BF分別交于點G、H、R，如圖2．

①當CD＝6，CE＝4時，求BE的長．

②探究BH與AF的數量關系，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①4﹣2；②AF＝BH，詳見解析

【解析】

(1)由“ASA”可得△BOE≌△DOF，可得DF＝BE，可得結論；

(2)①由等腰三角形的性質可得EN＝CN＝2，由勾股定理可求DN，由等腰三角形的性質可求BN的長，即可求解；

②如圖，過點H作HM⊥BC于點M，由“AAS”可證△HMC≌△CND，可得HM＝CN，由等腰直角三角形的性質可得BH＝HM，即可得結論．

(1)證明：∵平行四邊形ABCD中，點O是對角線BD中點，

∴AD∥BC，BO＝DO，

∴∠ADB＝∠CBD，且∠DOF＝∠BOE，BO＝DO，

∴△BOE≌△DOF（ASA）

∴DF＝BE，且DF∥BE，

∴四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)①如圖2，過點D作DN⊥EC于點N，

∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，

∴EN＝CN＝2，

∴DN＝＝＝4，

∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，

∴∠DBC＝∠BDN＝45°，

∴DN＝BN＝4，

∴BE＝BN﹣EN＝4﹣2；

故答案為：BE＝4﹣2.

②AF＝BH，

理由如下：如圖，過點H作HM⊥BC于點M，

∵DN⊥EC，CG⊥DE，

∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，

∴∠EDN＝∠ECG，

∵DE＝DC，DN⊥EC，

∴∠EDN＝∠CDN，EC＝2CN，

∴∠ECG＝∠CDN，

∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，

∴∠CDB＝∠DHC，

∴CD＝CH，且∠HMC＝∠DNC＝90°，∠ECG＝∠CDN，

∴△HMC≌△CND（AAS）

∴HM＝CN，

∵HM⊥BC，∠DBC＝45°，

∴∠BHM＝∠DBC＝45°，

∴BM＝HM，

∴BH＝HM，

∵AD＝BC，DF＝BE，

∴AF＝EC＝2CN，

∴AF＝2HM＝BH．

故答案為：AF＝BH.