Question

【題目】將一個直角三角形紙片ABO放置在平面直角坐標系中，點A（，0），B（0，1），O（0，0）．

（1）點P為邊OA上一點（點P不與A，O重合），沿BP將紙片折疊得A的對應點A′．邊BA′與x軸交于點Q．

①如圖1，當點A′剛好落在y軸上時，求點A′的坐標．

②如圖2，當A′P⊥OA，若線段OQ在x軸上移動得到線段O′Q′（線段OQ平移時A′不動），當△A′O′Q′周長最小時，求OO′的長度．

（2）如圖3，若點P為邊AB上一點（點P不與A，B重合），沿OP將紙片折疊得A的對應點A″，當∠BPA″＝30°時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）①A'（0，﹣1）；②1﹣；（2）P（，）．

【解析】

（1）①先利用勾股定理求出，利用折疊求出，再利用線段的和差求出即可得出結論；

②先由折疊求出，進而求出，即可求出，求出點的坐標，從而求出直線的解析式，求出OQ的長度，最后用等腰三角形的三線合一即可得出結論；

（2）先求出，再構造直角三角形，建立方程即可求出結論.

（1）

，由勾股定理得

①由折疊知，

；

②

由折疊知，

∴直線的解析式為

令，得，

∵線段OQ在x軸上移動得到線段（線段OQ平移時不動），要周長最小

則是的垂直平分線，P是垂足，

；

（2）如圖，在中，

由折疊知，

過點P作于G

在中，

設

在中，

在中，

又

解得

故點P的坐標為.