Question

【題目】如圖1，拋物線過點軸上的和點，交軸于點，點該物上限一點，且．

（1）拋物線的解析式為：____________；

（2）如圖2，過點作軸交直線于點，求點在運動的過程中線段長度的最大值；

（3）如圖3，若，在對稱軸左側的拋物線上是否存在點，使？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）根據，易知點C(0,3),將點A，C的坐標代入中，即可得到b，c的值，從而得到拋物線的解析式；

（2）先根據B,C坐標確定直線BC的解析式為，設,則，則PD的長度為，結合x的取值范圍，利用二次函數的性質求PD長度的最大值；

（3）首先由，OB=OC,易知∠BCP=∠OCB=45° ，得到PC//OB,設直線BQ與y軸交于點G,結合條件證得△CPB≌△CGB，得到CG=CP=2，得到點G的坐標，利用B，G得到直線BQ的解析式，再與拋物線的解析式聯立方程組，從而求得交點Q的坐標并說明了其存在.

解：（1）∵，易知點C(0,3), 將點A，C的坐標代入中得到 ，解得，∴拋物線的解析式為：.

（2）由，得B（3，0）

設直線BC的解析式為

將點代入得

∴直線BC的解析式為

設點，則

∴

.

∴當時，PD有最大值.

（3）存在

∵，點P在第一象限，∴

∵B（3，0），C（0，3）

∴OC=OB

∴△BOC是等腰直角三角形

∴∠OBC=∠OCB=45°

∴∠BCP=∠OCB=45°，∴CP∥OB，∴P（2，3）

設BQ與y軸交于點G

在△CPB和△CGB中：

，∴△CPB≌△CGB（ASA）

∴CG=CP=2

∴OG=1

∴點G（0，1），

設直線BQ：

將點B（3，0）代入，∴，

∴直線BQ：，

聯立直線BQ和二次函數解析式

解得：或（舍去）

.