Question

22、我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．在學習《中點四邊形》時，小明和小亮產生了很大的意見分歧：
小明說：如果一個四邊形的中點四邊形是菱形，則原四邊形一定是矩形；
小亮說：如果一個四邊形的中點四邊形是菱形，則原四邊形一定是對角線相等的四邊形，而不一定是矩形．
（1）你認為誰的觀點錯誤的，請畫圖舉一個反例，并作簡單說明

反例如圖

．
（2）如果該四邊形的對角線互相垂直，則中點四邊形為

矩形

．
（3）如果該四邊形的對角線相等，則中點四邊形為

菱形

．
（4）如果該四邊形的對角線互相垂直且相等，則中點四邊形為

正方形

．

Answer 1

分析：（1）中點四邊形的形狀取決于原四邊形的對角線的性質；
（2）當原四邊形的對角線相等時，中點四邊形的形狀為菱形；
（3）當原四邊形的對角線垂直時，中點四邊形的形狀為矩形；
（4）如果該四邊形的對角線互相垂直且相等，則中點四邊形為 正方形．

解答：解：（1）我認為小明的觀點是錯誤的，反例如圖所示．
在等腰梯形ABCD中
AC=BD，
∵M、Q是AB、AD的中點，
∴MQ∥BD，MQ=BD，
同理NP∥BD，NP=BD，
可得四邊形MNPQ是平行四邊形，
再由MN=PN可得四邊形MNPQ是菱形，
（2）∵四邊形的對角線互相垂直，
∴它的中點四邊形為矩形，
（3））∵四邊形的對角線相等，
∴它的中點四邊形為菱形，
（4））∵四邊形的對角線互相垂直且相等，
∴它的中點四邊形為正方形．

點評：本題考查了三角形的中位線的性質及特殊四邊形的判定，解題的關鍵是牢記中點四邊形的形狀取決于原四邊形的對角線的性質．