Question

等腰三角形是我們熟悉的圖形之一，下面介紹一種等分等邊三角形面積的方法：如圖（1），在△ABC中，AB=AC，把底邊BC分成m等份，連接頂點A和底邊BC各等分點的線段，即可把這個三角形的面積m等分．
問題的提出：任意給定一個正n邊形，你能把它的面積m等分嗎？
探究與發現：為了解決這個問題，我們先從簡單問題入手：怎樣從正三角形的中一心（正多邊形的各對稱軸的交點，又稱為正多邊形的中心）引線段，才能將這個正三角形的面積m等分？
如果要把正三角形的面積四等分，我們可以先連接正三角形的中心和各頂點（如圖（2），這些線段將這個正三角形分成了三個全等的等腰三角形）；再把所得的每個等腰三角形的底邊四等分，連接中心和各邊等分點（如圖（3），這些線段把這個正三角形分成了12個面積相等的小三角形）；最后，依次把相鄰的三個小三角形拼合在一起（如圖（4））．這樣就把正三角形的面積四等分．

（1）實驗與驗證：依照上述方法，利用刻度尺，在圖（5）中畫出一種將正三角形的面積五等分的簡單示意圖；
（2）猜想與證明：怎樣從正三角形的中心引線段，才能將這個正三角形的面積m等分？敘述你的分法并說明理由；
（3）拓展與延伸：怎樣從正方形的中心引線段，才能將這個正方形的面積m等分？（敘述方法即可，不需說明理由）
（4）向題解決：怎樣從正n邊形的中心引線段，才能將這個正n邊形的面積m等分？（敘述分法即可，不需說明理由）．

Answer 1

分析：（1）把底邊BC分成5等份，連接頂點A和底邊BC各等分點的線段，即可把這個三角形的面積5等分；
（2）先連接正三角形的中心和各頂點，再把所得的每個等腰三角形的底邊m等分，連接中心和各邊等分點，依次把相鄰的三個小三角形拼合在一起，即把正三角形的面積m等分；
（3）先連接正方形的中心和各頂點，再把所得的每個等腰三角形的底邊m等分，連接中心和各等分點，依次把相鄰的四個小三角形拼合在一起，即可把正方形的面積m等分；
（4）先連接正n邊形的中心和各頂點，再把所得的每個等腰三角形的底邊m等分，連接中心和各等分點，依次把相鄰的n個小三角形拼合在一起，即可把正n邊形的面積m等分．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）先連接正三角形的中心和各頂點，再把所得的每個等腰三角形的底邊m等分，連接中心和各邊等分點，依次把相鄰的三個小三角形拼合在一起，即把正三角形的面積m等分．
理由：正三角形被中心和各頂點的連線分成三個全等的等腰三角形，所以這三個等腰三角形的底和高都相等，這個等腰三角形的底邊被m等分，所得的每個小三角形的底和高都相等，則其面積相等，因此，依次把相鄰的三個小三角形拼合在一起合成的圖形的面積也相等，即可把此三角形的面積m等分；

（3）先連接正方形的中心和各頂點，再把所得的每個等腰三角形的底邊m等分，連接中心和各等分點，依次把相鄰的四個小三角形拼合在一起，即可把正方形的面積m等分；

（4）先連接正n邊形的中心和各頂點，再把所得的每個等腰三角形的底邊m等分，連接中心和各等分點，依次把相鄰的n個小三角形拼合在一起，即可把正n邊形的面積m等分．

點評：本題考查的是正多邊形和圓，根據圖中所給出的等分正三角形的方法得出結論是解答此題的關鍵．