Question

【題目】已知：如圖，等邊△ABC的邊長為8，D為AC上的一個動點，延長AB到點E，使BE=CD，連接DE交BC于點P

（1）求證：DP=EP；

（2）若D為AC的中點，求BP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BP=2

【解析】

（1）過點D作DF∥AB，交BC于點F，根據平行線的性質及等邊三角形的性質證明BE=CD=DF，根據平行線的性質證得∠PEB=∠PDF，

（2）根據點D是AC的中點得到CD，即可求出BF，利用△BPE≌△FPD得到BP=FP，即可求出答案.

(1)證明：過點D作DF∥AB，交BC于點F，

∵DF∥AB

∴∠CFD=∠ABC，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠CFD=∠ABC=∠C=60°，

∴△CDF是等邊三角形，

∴DF=CD，

∵BE=CD，

∴BE=FD，

∵DF∥AB，

∴∠PEB=∠PDF，

在△BPE和△FPD中

，

∴△BPE≌△FPD，

∴DP=EP；

(2）∵等邊△ABC的邊長為8，

∴AC=BC=8，

∵點D是AC的中點，

∴CF=CD=4，

∴BF=4，

∵△BPE≌△FPD，

∴BP=FP,

∴BP=2.